Zložený úrok, číslo e a pánboh

Pred tristo rokmi, v polovičke apríla, sa narodil Leonard Euler. Tento pán sa vo svojom živote okrem iného zaoberal filozofiou, stavbou lodí, kartografiou, fyziológiou, akustikou, mechanikou, matematikou. Činil sa aj v iných, bežnému človeku bližších oblastiach – mal trinásť detí a ako sa sám vyjadril, „na mnohé z mojich najväčších objavov som prišiel držiac nemluvňa v rukách, pričom pri mojich nohách sa hrali ďalšie deti“. Euler slúžil najväčším potentátom svojich čias - cárovnej Kataríne prvej a cisárovi Fridrichovi Veľkému. Získal mnohé ocenenia akadémie vied v Paríži, Berlíne a Sankt Peterburgu. A objavil číslo e. Teda, nie tak celkom.

0d ? po e alebo Gréci a moderní Európania
Prísť na to, že existuje čosi ako číslo ? (? = 3,14159.... ), je pomerne ľahké. Stačí objaviť koleso. A začať používať hrnčiarsky kruh. A vôbec zaujímať sa o okrúhle predmety. Keď odmeriame obvod takéhoto kruhového útvaru a vydelíme ho jeho priemerom, dostaneme číslo rovné zhruba trom. Keď sa nad vecou trochu zamýšľame pár sto rokov – a to Gréci radi robili – predstava čísla ? je na svete.

S číslom e sa veci majú trochu zložitejšie. O jeho existencii nemali Gréci ani potuchy. Opisuje totiž javy, ktoré sú blízke až modernému Európanovi. (Máme teraz na mysli historického moderného Európana. Toho, ktorý sa rodil zhruba v období renesancie.) Tento Európan mal spočiatku tie isté matematické vedomosti ako starí Gréci. Ale pridal k nim čosi navyše: odvahu narábať s nekonečnom.
Práve tu vstupuje do hry vyššie spomínaný pánboh. Pre Grékov slovo apeiron, nekonečno, okrem iného znamenalo čosi chaotické, nejasné. Aj dobrák Zenón varoval vo svojich paradoxoch: „Ak pracujete s nekonečnom, dostanete nezmysly. Šíp nikdy nedoletí do cieľa. Achilles nikdy nedobehne korytnačku. A vôbec, nechajte to tak, inak sa vám bude zdať, že neexistuje ani pohyb.“

Nicola Oresme v 14. storočí naopak bez obáv rieši problémy, ktoré začínajú slovami typu: „Niečo sa pohybovalo nekonečne veľa dní...“. Kde na to ten chlap zobral guráž?
„Odvaha“ stredovekých učencov spočívala v tom, že si predstavili, ako by veci videl ideálny, dokonalý pozorovateľ. Taký, ktorý bez problémov vidí aj za roh, dokonca za dva, a keď sa mu zachce, tak aj za nekonečne veľa rohov. Takým pozorovateľom bol v ich očiach stredoveký boh. Grécki bohovia vlastnosť vševedúcnosti a všemohúcnosti nemali. Boli to síce mágovia, šikovníci a géniovia, ale zároveň aj sukničkári, urážlivci a ochľastovia. Hoci nesmrteľní, žili svoj život TU a TERAZ. Kdeže by ich zaujímalo nejaké nekonečno!

Euler a jeho číslo
Ćíslo e sa začalo vynárať v prácach stredovekých učencov postupne. Bolo treba medzi sebou násobiť veľmi veľké čísla a ktosi prišiel na to, ako násobenie previesť na jednoduché sčitovanie. Stačí mať poruke šikovnú pomôcku – logaritmické tabuľky.
Bolo treba modelovať rýchlosť rastu rôznych veličín. A bolo treba financovať veľké projekty. Začali sa počítať zložené úroky, od tých už je blízko k myšlienke spojitého úrokovania.
Tu máme šancu pozrieť sa na vec presnejšie. Aby sme sa konečne dopracovali aj k hodnote čísla e. Pre jednoduchosť si predstavme, že banka nám dá jednoročný úrok sto percent (Mohli by sme robiť aj realistickejšie úvahy, napríklad s trojpercentným úrokom, ale umeleckejšie založeným povahám by mohli prekážať prizložité vzorce.) Takže: ak sme vložili na začiatku roku do banky svoj milión, na konci roka máme milióny dva. Čo keby sme uložili naše peniaze na zložený úrok, ktorý by sa pripočítaval dvakrát ročne? Na konci prvého polroku nám banka vyplatí len polovičku z úroku. Máme teda
10⁶ x (1 + ?) bubákov. Na konci roka sa však takým istým spôsobom úrokuje už táto nová suma. Dohromady zinkasujeme
10⁶ x (1 + ?) x (1 + ?)= 10⁶ x (1 + ?)² peňazí, čo je viac, ako dva milióny.
A teraz to príde. Predstavme si, že úrok nám pripisujú podobným spôsobom n- krát do roka, kde n je zatiaľ neurčené číslo. Na konci roka budeme mať 10⁶ x (1 + 1/n)ⁿ korún. A - ako by povedal Newton, Bernoulli či Euler - ak n je nekonečne veľké číslo, tak číslo (1 + 1/n)ⁿ je nekonečne blízko číslu e. Voil?! Také je to jednoduché, keď na obláčku nad nami pláva dokonalý pozorovateľ.

Portrét a logo čísla e
Približná hodnota čísla e je 2.71828. Podobne ako číslo ? je éčko iracionálne. Nedá sa teda napísať ako podiel dvoch prirodzených čísel a bolo by nám nanič pri tradičnom delení šiestich mamutov medzi sedemnásť lovcov.
Ako je to s autorským právom na číslo e? Hoci sa toto číslo rodilo už v prácach Napiera, Bernoulliho a ďalších, Euler sa ním podrobne v mnohých súvislostiach zaoberal. A presne ho definoval. Takisto podal viacero metód jeho výpočtu. Tá najjednoduchšia je asi táto:
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + atď až do nekonečna
kde vo všeobecnosti symbol k! označuje číslo 1x2x3x...x k.

Bol to tiež Euler, kto vybral pre toto číslo logo – symbol e. Ten pretrval dodnes. Závistlivci sa nazdávajú, že Euler písmeno e zvolil ako iniciálu svojho priezviska. V skutočnosti je vraj vec oveľa prozaickejšia: Euler písal prácu, v ktorej používal viaceré označenia. Prvé použité označenie bola prvá samohláska v abecede, písmeno a. Na ďalší symbol si zvolil druhú samohlásku v poradí. Teda písmeno e.
Dobrou správou je, že tým pádom je logo a pre označenie slávnych čísel neobsadené. Šancu objaviť číslo a má teda každý z nás. Len si treba všimnúť nové zákonitosti, či prizvať si na pomoc nejaké nové, mocnejšie božstvo. Veľa šťastia!